简述列联表的构造与列联表的分布。

列联表是将两个以上的变量进行交叉分类的频数分布表。
列联表的分布可以从两个方面看，一个是观察值的分布，又称为条件分布，每个具体的观察值就是条件频数；一个是期望值的分布。

用一张报纸、一份杂志或你周围的例子构造一个列联表，说明这个调查中两个分类变量的关系，并提出进行检验的问题。

对三个生产厂甲、乙、丙提供的学习机的 A、B、C 三种性能进行质量检验，欲了解生产厂家同学习机性能的质量差异是否有关系。抽查了 450 部学习机次品，整理成为如表 9-1 所示的 3×3 列联表。
根据抽查检验的数据表明：次品类型与厂家（即哪一个厂）生产是无关的（即是相互独立的）。
建立假设：H0：次品类型与厂家生产是独立的；H1：次品类型与厂家生产不是独立的。
可以计算各组的期望值，如表 9-2 所示（表中括号内的数值为期望值）。
所以 $χ 2＝(20－17)^2 /17＋(40－33)^2 /33＋...＋(70－58)^2 /58＝9.821$ 。
而自由度等于 $(R－1)(C－1)＝(3－1)×(3－1)＝4$ ，若以 0.01 的显著性水平进行检验，查 χ^2 分布表得 $χ_{0.01}^ 2(4)＝13.277$ 。由于 $χ 2＝9.821＜χ_{0.01}^ 2(4)＝13.277，故接受原假设 H0，即次品类型与厂家生产是独立的。

说明计算 $χ 2$ 统计量的步骤。

计算 $χ^2$ 统计量的步骤：
（1）用观察值 $f_0$ 减去期望值 $f_e$ ；
（2）将（ $f_0－f_e$ ）之差平方；
（3）将平方结果（ $f_0－f_e$ ） 2 除以 $f_e$ ；
（4）将步骤（3）的结果加总，即得：
$\chi^2=\sum \frac{(f_0-f_e)^2}{f_e}$

简述 φ 系数、c 系数、V 系数的各自特点。

（1）φ 相关系数是描述 2×2 列联表数据相关程度最常用的一种相关系数。它的计算公式为：
$\varphi=\sqrt{\chi ^2 /n}$
式中，
$\chi^2=\sum \frac{(f_0-f_e)^2}{f_e}$
出的 φ 系数可以控制在 0～1 这个范围。
（2）列联相关系数又称列联系数，简称 c 系数，主要用于大于 2×2 列联表的情况。c 系数的计算公式为：
$c=\sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2 +n}}$
当列联表中的两个变量相互独立时，系数 c＝0，但它不可能大于 1。c 系数的特点是，其可能的最大值依赖于列联表的行数和列数，且随着 R 和 C 的增大而增大。
（3）格莱姆（Gramer）提出了 V 系数。V 系数的计算公式为：
$V=\sqrt{\frac{\chi^2}{n \times min[(R-1),(C-1)]}}$
当两个变量相互独立时，V＝0；当两个变量完全相关时，V＝1。所以 V 的取值在 0～1 之间。如果列联表中有一维为 2，即 min[(R-1),(C-1)]＝1，则 V 值就等于 φ 值。

构造下列维数的列联表，并给出 $χ^2$ 检验的自由度。

a．2 行 5 列
b．4 行 6 列
c．3 行 4 列

$i$ 行 $j$ 列联表，如表 9-3 所示。
而 $\chi^2$ 检验的自由度＝(行数－1)(列数－1)，所以
a．当 $i＝2, j＝5$ 时，表 9-3 即为 2 行 5 列的列联表，其 $\chi^2$ 检验的自由度＝（2－1）×（5－1）＝4；
b．当 $i＝4, j＝6$ 时，表 9-3 即为 4 行 6 列的列联表，其 $\chi^2$ 检验的自由度＝（4－1）×（6－1）＝15；
c．当 $i＝3, j＝4$ 时，表 9-3 即为 3 行 4 列的列联表，其 $\chi^2$ 检验的自由度＝（3－1）×（4－1）＝6。